Mustalla taustalla eri värisiä matemaattisia lausekkeita

Symbo­li­nen laskin insi­nöö­rin työkalupakkiin

Minut palkat­tiin Kare­li­aan tuntio­pet­ta­jaksi viime vuoden elokuussa opet­ta­maan mate­ma­tiik­kaa ja fysiik­kaa teknii­kan koulu­tuk­sissa. Aloit­ta­vien opis­ke­li­joi­den kurs­seilla huoma­sin, että iso osa opis­ke­li­joista käytti oppi­tun­neilla varsi­nai­sen laski­men tai laskin­so­vel­luk­sen sijaan matka­pu­he­li­men laskinta. Suosit­te­lin kaikkia opis­ke­li­joita hank­ki­maan TI-Nspire CAS -laskin­so­vel­luk­sen. Uskon, että insi­nööri tarvit­see työs­sään symbo­li­sen lasken­nan työka­lun ja mieles­täni tämä laskin­so­vel­lus sopii hyvin insi­nöö­rin työka­lu­pak­kiin. Tällä kirjoi­tel­malla otan kantaa Nspire-laskin­so­vel­luk­sen käytön puolesta Kareliassa.

Laskin­so­vel­lus TI-Nspire

Symbo­li­sella lasken­nalla tarkoi­te­taan lausek­kei­den ja yhtä­löi­den teho­kasta käsit­te­lyä symbo­li­sessa muodossa. Symbo­li­sen lasken­nan järjes­tel­mistä käyte­tään ylei­sesti lyhen­nettä CAS (Compu­ter Algebra System). Karelia-ammat­ti­kor­kea­kou­lussa teknii­kan koulu­tus­ten opis­ke­li­joilla on ATK-luokissa käytössä symbo­li­seen lasken­taan sovel­tuva laskin­so­vel­lus TI-Nspire CAS. Jatkossa käytän sovel­luk­sesta puhe­kie­listä ilmai­sua Nspire.

Insi­nöö­rio­pis­ke­li­jat käyt­tä­vät Nspireä ainakin mate­ma­tii­kan ja fysii­kan kurs­seilla. Monissa sovel­ta­vissa tehtä­vissä oleel­lista on ongel­man muotoilu mate­maat­ti­sesti, esimer­kiksi yhtä­lö­ryh­mäksi tai inte­graa­liksi. Kun se on tehty, niin mekaa­ni­set laskut voidaan suorit­taa käyt­tä­mällä kone­voi­maa. Tyypil­li­siä esimerk­kejä Nspiren käytöstä ovatkin hanka­lan yhtälön tai yhtä­lö­ryh­män ratkai­se­mi­nen sekä deri­vaat­to­jen ja inte­graa­lien laskeminen.

Esimer­kiksi sähkö­opin virta­pii­ri­las­kuissa ratko­taan line­aa­ri­sia yhtä­lö­ryh­miä. Tällai­set suora­vii­vai­set, joskin työläät laskut onnis­tu­vat mekaa­ni­sesti kynällä ja pape­rilla, kunhan laskun yhtä­lö­ryhmä on ensin saatu muodos­tet­tua. Nspi­ressä yhtä­lö­ryhmä syöte­tään ohjel­maan, jonka jälkeen se ratkeaa yhdellä solve-käskyllä.

Perus­las­ku­tai­toja tarvitaan

Aloit­ta­ville opis­ke­li­joille uuden järjes­tel­män opet­telu on työlästä. Käytän­nössä jokai­selle lukion käyneelle opis­ke­li­jalle Nspire on tuttu sovel­lus, sillä lukiossa se on ylei­sesti käytössä. Useilla yliop­pi­lailla sovel­lus onkin omalla läppä­rillä. Amma­til­li­selta puolelta tulleilla opis­ke­li­joilla ei yleensä ole koke­musta Nspi­restä ja he tarvit­se­vat opin­to­jen alku­vai­heessa tukea sovel­luk­sen käytön opetteluun.

Aiemmin Puls­sissa julkais­tussa artik­ke­lissa Kangas ja Smolan­der totea­vat, että mate­ma­tii­kan kurs­seilla joudu­taan kertaa­maan perus­as­teen mate­ma­tiik­kaa, kuten murto­lu­vuilla laske­mista, yksi­kön­muun­nok­sia ja ensim­mäi­sen asteen yhtälön ratkai­se­mista (Kangas & Smolan­der 2021). Kun käytössä on Nspire, niin opetuk­sessa peda­go­gi­seksi ongel­maksi muodos­tuu se, kuinka paljon opis­ke­li­joilta vaadi­taan näitä perus­las­ku­tai­toja. Murto­lu­vuilla ja -lausek­keilla laske­mi­nen ja yhtä­löi­den ratkai­se­mi­nen tällä sovel­luk­sella kun ei vaadi juuri­kaan ajattelutyötä.

Opet­ta­mil­lani kurs­seil­lani harjoi­tel­laan tehtä­vien ratkai­se­mista kynällä ja pape­rilla. Vaikka Nspire on opis­ke­li­joilla käytössä, he joutu­vat tree­naa­maan myös lausek­kei­den käsit­te­lyä ja perus­las­ku­tai­toja. Ne ovat mieles­täni tärkeitä, perus­ta­vaa laatua olevia taitoja mate­ma­tii­kan ja fysii­kan opis­ke­lussa. Kun perus­tai­dot ovat hallussa, niin Nspiren käyttö vapaut­taa opis­ke­lussa aikaa mekaa­ni­sesta laske­mi­sesta varsi­nai­seen ongelmanratkaisuun.

Väli­vai­heet tehtä­vien ratkaisuissa

Usein mate­ma­tii­kan harjoi­tus­teh­tä­vän vastauk­sen saa suoraan laski­mesta, mutta pelkkä vastaus ei riitä tehtä­vän ratkai­suksi. Omilla kurs­seil­lani ratkai­suun on kirjoi­tet­tava näky­viin lasku­jen väli­vai­heet tai päät­te­lyn sanal­li­set seli­tyk­set siitä, kuinka vastaus on saatu. Tätä vaadin myös kokeissa.

Tarkas­tel­laan esimerk­kinä yhtälöä x – 1 = 1/x. Kynällä ja pape­rilla se saadaan ratkais­tua muok­kaa­malla yhtälö toisen asteen yhtä­löksi, joka voidaan ratkaista ratkai­su­kaa­valla. Ratkai­sussa on siis useita väli­vai­heita ja siinä tarvi­taan sekä yhtälön muok­kauk­sen taitoa että taitoa ratkaista toisen asteen yhtälö. Nspi­reen yhtälö voidaan syöttää suoraan alku­pe­räi­sessä muodossa ja ratkaisu saadaan halut­taessa tark­kana arvona tai likiarvona.

Toisena esimerk­kinä tarkas­tel­laan lähes yhtä viat­to­malta näyt­tä­vää yhtälöä x2 – 1 = 1/x. Sen ratkai­se­mi­nen kynällä ja pape­rilla ei ole kovin­kaan helppoa. Mate­ma­tiik­kaa harras­ta­vat lukijat voivat sitä kokeilla. Nspire-sovel­luk­sella ratkaisu saadaan muuta­massa sekunnissa.

Olen tottu­nut luon­nos­te­le­maan tehtä­vien ratkai­suja kynällä pape­rille, myös tilan­teissa, joissa ratkai­sen tehtä­vät Nspi­rellä. Luon­nos­telu auttaa minua hahmot­ta­maan ratkai­sun kulkua, ainakin pidem­missä tehtävissä.

Nspi­reen on helppo kirjoit­taa muis­tiin­pa­noja, joten vält­tä­mättä kynää ja paperia ei tarvita. Opis­ke­li­jat voivat siis kirjoit­taa lasku­teh­tä­vien tarpeel­li­set väli­vai­heet ja päät­te­lyt Nspi­reen. Tätä ominai­suutta käyte­tään hyväksi useiden fysii­kan opin­to­jak­so­jen kurs­si­ko­keissa, joissa opis­ke­li­jat palaut­ta­vat koeteh­tä­vien ratkai­sut Nspire-tiedostoina.

Tukea opis­ke­li­joille

Talo­tek­nii­kan aloit­ta­ville opis­ke­li­joille järjes­tet­tiin syksyllä 2022 vapaa­eh­toi­nen lasku­har­joi­tus­paja, jossa opis­ke­li­jat saivat lisä­ope­tusta ja heillä oli mahdol­li­suus ohja­tusti laskea esimer­kiksi mate­ma­tii­kan kurssin koti­teh­tä­viä (Ojala, Smolan­der & Kangas 2022). Jos tällai­nen paja­toi­minta saa jatkoa, niin siellä on luon­te­vaa harjoi­tella myös Nspiren käyttöä. Eipä olisi pahit­teeksi, jos insi­nöö­ri­kou­lu­tus­ten opis­ke­li­joille pystyt­täi­siin järjes­tä­mään eril­li­nen Nspire-tuki­kurssi heti opin­to­jen alussa.


Kirjoit­taja:

Pekka Smolan­der, opet­taja, Karelia-ammattikorkeakoulu


Lähteet:

Kangas, J. & Smolan­der, L. 2021 Mate­ma­tii­kan osaa­mi­sen haas­teet insi­nöö­rio­pin­noissa. Pulssi 20.12.2021. https://www.karelia.fi/2021/12/matematiikan-osaamiseen-haasteet-insinooriopinnoissa/

Ojala, P., Smolan­der, L.  & Kangas, J. 2022 Uusia tuki­toi­mia pilo­toi­daan mate­ma­tii­kan taito­jen opis­ke­lussa. Pulssi 6.9.2022. https://www.karelia.fi/2022/09/uusia-tukitoimia-pilotoidaan-matematiikan-taitojen-opiskelussa/

Artik­ke­li­kuva: Free Stock photos by Vecteezy