Minut palkattiin Kareliaan tuntiopettajaksi viime vuoden elokuussa opettamaan matematiikkaa ja fysiikkaa tekniikan koulutuksissa. Aloittavien opiskelijoiden kursseilla huomasin, että iso osa opiskelijoista käytti oppitunneilla varsinaisen laskimen tai laskinsovelluksen sijaan matkapuhelimen laskinta. Suosittelin kaikkia opiskelijoita hankkimaan TI-Nspire CAS -laskinsovelluksen. Uskon, että insinööri tarvitsee työssään symbolisen laskennan työkalun ja mielestäni tämä laskinsovellus sopii hyvin insinöörin työkalupakkiin. Tällä kirjoitelmalla otan kantaa Nspire-laskinsovelluksen käytön puolesta Kareliassa.
Laskinsovellus TI-Nspire
Symbolisella laskennalla tarkoitetaan lausekkeiden ja yhtälöiden tehokasta käsittelyä symbolisessa muodossa. Symbolisen laskennan järjestelmistä käytetään yleisesti lyhennettä CAS (Computer Algebra System). Karelia-ammattikorkeakoulussa tekniikan koulutusten opiskelijoilla on ATK-luokissa käytössä symboliseen laskentaan soveltuva laskinsovellus TI-Nspire CAS. Jatkossa käytän sovelluksesta puhekielistä ilmaisua Nspire.
Insinööriopiskelijat käyttävät Nspireä ainakin matematiikan ja fysiikan kursseilla. Monissa soveltavissa tehtävissä oleellista on ongelman muotoilu matemaattisesti, esimerkiksi yhtälöryhmäksi tai integraaliksi. Kun se on tehty, niin mekaaniset laskut voidaan suorittaa käyttämällä konevoimaa. Tyypillisiä esimerkkejä Nspiren käytöstä ovatkin hankalan yhtälön tai yhtälöryhmän ratkaiseminen sekä derivaattojen ja integraalien laskeminen.
Esimerkiksi sähköopin virtapiirilaskuissa ratkotaan lineaarisia yhtälöryhmiä. Tällaiset suoraviivaiset, joskin työläät laskut onnistuvat mekaanisesti kynällä ja paperilla, kunhan laskun yhtälöryhmä on ensin saatu muodostettua. Nspiressä yhtälöryhmä syötetään ohjelmaan, jonka jälkeen se ratkeaa yhdellä solve-käskyllä.
Peruslaskutaitoja tarvitaan
Aloittaville opiskelijoille uuden järjestelmän opettelu on työlästä. Käytännössä jokaiselle lukion käyneelle opiskelijalle Nspire on tuttu sovellus, sillä lukiossa se on yleisesti käytössä. Useilla ylioppilailla sovellus onkin omalla läppärillä. Ammatilliselta puolelta tulleilla opiskelijoilla ei yleensä ole kokemusta Nspirestä ja he tarvitsevat opintojen alkuvaiheessa tukea sovelluksen käytön opetteluun.
Aiemmin Pulssissa julkaistussa artikkelissa Kangas ja Smolander toteavat, että matematiikan kursseilla joudutaan kertaamaan perusasteen matematiikkaa, kuten murtoluvuilla laskemista, yksikönmuunnoksia ja ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisemista (Kangas & Smolander 2021). Kun käytössä on Nspire, niin opetuksessa pedagogiseksi ongelmaksi muodostuu se, kuinka paljon opiskelijoilta vaaditaan näitä peruslaskutaitoja. Murtoluvuilla ja -lausekkeilla laskeminen ja yhtälöiden ratkaiseminen tällä sovelluksella kun ei vaadi juurikaan ajattelutyötä.
Opettamillani kursseillani harjoitellaan tehtävien ratkaisemista kynällä ja paperilla. Vaikka Nspire on opiskelijoilla käytössä, he joutuvat treenaamaan myös lausekkeiden käsittelyä ja peruslaskutaitoja. Ne ovat mielestäni tärkeitä, perustavaa laatua olevia taitoja matematiikan ja fysiikan opiskelussa. Kun perustaidot ovat hallussa, niin Nspiren käyttö vapauttaa opiskelussa aikaa mekaanisesta laskemisesta varsinaiseen ongelmanratkaisuun.
Välivaiheet tehtävien ratkaisuissa
Usein matematiikan harjoitustehtävän vastauksen saa suoraan laskimesta, mutta pelkkä vastaus ei riitä tehtävän ratkaisuksi. Omilla kursseillani ratkaisuun on kirjoitettava näkyviin laskujen välivaiheet tai päättelyn sanalliset selitykset siitä, kuinka vastaus on saatu. Tätä vaadin myös kokeissa.
Tarkastellaan esimerkkinä yhtälöä x – 1 = 1/x. Kynällä ja paperilla se saadaan ratkaistua muokkaamalla yhtälö toisen asteen yhtälöksi, joka voidaan ratkaista ratkaisukaavalla. Ratkaisussa on siis useita välivaiheita ja siinä tarvitaan sekä yhtälön muokkauksen taitoa että taitoa ratkaista toisen asteen yhtälö. Nspireen yhtälö voidaan syöttää suoraan alkuperäisessä muodossa ja ratkaisu saadaan haluttaessa tarkkana arvona tai likiarvona.
Toisena esimerkkinä tarkastellaan lähes yhtä viattomalta näyttävää yhtälöä x2 – 1 = 1/x. Sen ratkaiseminen kynällä ja paperilla ei ole kovinkaan helppoa. Matematiikkaa harrastavat lukijat voivat sitä kokeilla. Nspire-sovelluksella ratkaisu saadaan muutamassa sekunnissa.
Olen tottunut luonnostelemaan tehtävien ratkaisuja kynällä paperille, myös tilanteissa, joissa ratkaisen tehtävät Nspirellä. Luonnostelu auttaa minua hahmottamaan ratkaisun kulkua, ainakin pidemmissä tehtävissä.
Nspireen on helppo kirjoittaa muistiinpanoja, joten välttämättä kynää ja paperia ei tarvita. Opiskelijat voivat siis kirjoittaa laskutehtävien tarpeelliset välivaiheet ja päättelyt Nspireen. Tätä ominaisuutta käytetään hyväksi useiden fysiikan opintojaksojen kurssikokeissa, joissa opiskelijat palauttavat koetehtävien ratkaisut Nspire-tiedostoina.
Tukea opiskelijoille
Talotekniikan aloittaville opiskelijoille järjestettiin syksyllä 2022 vapaaehtoinen laskuharjoituspaja, jossa opiskelijat saivat lisäopetusta ja heillä oli mahdollisuus ohjatusti laskea esimerkiksi matematiikan kurssin kotitehtäviä (Ojala, Smolander & Kangas 2022). Jos tällainen pajatoiminta saa jatkoa, niin siellä on luontevaa harjoitella myös Nspiren käyttöä. Eipä olisi pahitteeksi, jos insinöörikoulutusten opiskelijoille pystyttäisiin järjestämään erillinen Nspire-tukikurssi heti opintojen alussa.
Kirjoittaja:
Pekka Smolander, opettaja, Karelia-ammattikorkeakoulu
Lähteet:
Kangas, J. & Smolander, L. 2021 Matematiikan osaamisen haasteet insinööriopinnoissa. Pulssi 20.12.2021. https://www.karelia.fi/2021/12/matematiikan-osaamiseen-haasteet-insinooriopinnoissa/
Ojala, P., Smolander, L. & Kangas, J. 2022 Uusia tukitoimia pilotoidaan matematiikan taitojen opiskelussa. Pulssi 6.9.2022. https://www.karelia.fi/2022/09/uusia-tukitoimia-pilotoidaan-matematiikan-taitojen-opiskelussa/
Artikkelikuva: Free Stock photos by Vecteezy